如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x. (1)当x为何值时,PQ∥BC; (2

问题描述:

如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC;
(2)当

S△BCQ
S△ABC
1
3
,求
S△BPQ
S△ABC
的值;
(3)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.

(1)由题意得,PQ平行于BC,则AP:AB=AQ:AC,AP=4x,AQ=30-3x

4x
20
=
30−3x
30

∴x=
10
3

(2)∵S△BCQ:S△ABC=1:3
∴CQ:AC=1:3,CQ=10cm
∴时间用了
10
3
秒,AP=
40
3
cm,
∵由(1)知,此时PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC,相似比为
2
3

∴S△APQ:S△ABC=4:9
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5:9,即S四边形PQCB=
5
9
S△ABC
又∵S△BCQ:S△ABC=1:3,即S△BCQ=
1
3
S△ABC
∴S△BPQ=S四边形PQCB-S△BCQ
5
9
S△ABC-
1
3
S△ABC=
2
9
S△ABC
∴S△BPQ:S△ABC=2:9=
2
9

(3)假设两三角形可以相似
情况1:当△APQ∽△CQB时,CQ:AP=BC:AQ,即有
3x
4x
=
20
30−3x
解得x=
10
9

经检验,x=
10
9
是原分式方程的解.
此时AP=
40
9
cm,
情况2:当△APQ∽△CBQ时,CQ:AQ=BC:AP,即有
3x
30−3x
=
20
4x
解得x=5,
经检验,x=5是原分式方程的解.
此时AP=20cm.
综上所述,AP=
40
9
cm或AP=20cm.