如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,BC=2,D是AC的中点,以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E,以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连接DF,求DF的长.

问题描述:

如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,BC=2,D是AC的中点,以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E,以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连接DF,求DF的长.

∵△ABC为直角三角形,∠C=60°,
∴∠BAC=30°,
∴BC=

1
2
AC,
∵D为AC的中点,
∴BC=DC,
∴在△DEC≌△BAC中,
BC=DC
∠C=∠C
∠ABC=∠EDC

∴△DEC≌△BAC,
即AB=DE,∠DEB=30°,
∴∠FED=60°,
∵EF=AB,∴EF=DE,
∴△DEF为等边三角形,
即DF=AB,
在直角三角形ABC中,BC=2,则AC=4
AB=
AC2BC2
=2
3

答:DF的长为2
3