已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+1/ an-1(n≥2), 求证：对任意 n∈N*,n＜1,不等式根号下……
问题描述：
已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+1/ an-1(n≥2), 求证：对任意 n∈N*,n＜1,不等式根号下……
已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+1/ an-1(n≥2), 求证：对任意 n∈N*,n＜1,不等式根号下2n-1＜an＜根号下3n-1恒成立
ps：an-1和1/an-1中的n-1均为下脚标
答
a(n+1)=an+1/an
使用数学归纳法,先证an>√(2n-1)
1)当n=2时,an=2,√(2n-1)=√3命题成立
2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,即ak>√(2k-1)
则当n=k+1时,
因为ak>√(2k-1)>1
所以a(k+1)=ak+1/ak>√(2k-1)+1/√(2k-1)=2k/√(2k-1)
而√(2k-1)*√(2k+1)=√(4k^2-1)√(2k+1)
命题成立
综上1)2)可得,命题对一切整数n≥2时成立
对an1这个条件,因为y=x+1/x在只有[1,+∞)才是单调的.不是，这是对钩函数，y=x＋1/x