是否存在锐角α,β 使α +2β =2兀/3且tanβtan（α/2）=2-根号3成立?请求出α，β

因为α +2β =2兀/3，所以α=2兀/3-2β；
将α代入 tantan（α/2）=2-√3
即 tanβtan（兀/3-β）=2-√3
tan（兀/3-β）=(tan兀/3-tanβ)/(1+tan兀/3 tanβ)
令tanβ=t，
则化简得 t平方+2-√3t+2-√3=0
所以 t=？
因为 α,β是锐角，，所以α,β属于（0，兀/2）
所以 β属于（兀/12，兀/3），所以t=tanβ=？？？（考虑范围）
所以α=？？？β=？？？？

a=2/3*pi-2b
tanb*tan(a/2)=tanb*tan(pi/3-b)=tanb*(sqrt(3)-tanb)/(1+sqrt(3)tanb)=2-sqrt(3)
于是有：
【1+sqrt（3）tanb】*【2-sqrt（3）】=-(tanb)^2+sqrt(3)tanb
即：
2-sqrt（3）+2sqrt（3）tanb-3tanb=-（tanb）^2+sqrt(3)tanb
化解有：
（tanb）^2+[sqrt(3)-3]tanb+2-sqrt(3)=0
令x=tanb，则有：
x^2-(sqrt(3)-3)+2-sqrt(3)=0
分解因式：
(-x+1)(-x+2-sqrt(3))=0
所以x=1or2-sqrt（3）
x=tanb=1,则b=45°
则a=30°验算正确；
而若取x=2-sqrt(3)
由计算器得（这个我就偷懒了啊，不给出证明，就当做我记得吧，所以直接计算器得）：
b=15°，所以a=90°不符题意
所以a=30，b=45

α/2＋β＝π/3,所以tan(α/2＋β)＝[tan(α/2)＋tanβ] / [1－tan(α/2)tanβ]＝√3,所以tan(α/2)＋tanβ＝3－√3.所以tan(α/2)与tanβ是一元二次方程x^2－(3-√3)x＋(2-√3)＝0的根,且是正根.此方程的两个根是正数1与2－√3.
tan(α/2)＝1时,α＝π/2,舍去.所以tan(α/2)＝2－√3,求得tanα＝1/√3,所以α＝π/6,β＝π/4

提供一个思路吧：
令x=tan(a/2) y=tanb
则: xy=2-√3
a/2 +b =兀/3
tan(a/2+b)=√3
（x+y)/(1-xy)=√3 代入①
（x+y)/(1-2+√3)=√3
x+y=3-√3
求出x，y就可求出a,b