在锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若ab+ba=6cosC,则tanCtanA+tanCtanB的值是______.

问题描述:

在锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若

a
b
+
b
a
=6cosC,则
tanC
tanA
+
tanC
tanB
的值是______.

∵ab+ba=6cosC,由余弦定理可得,a2+b2ab=6•a2+b2−c22ab∴a2+b2=3c22则tanCtanA+tanCtanB=cosAsinCcosCsinA+cosBsinCcosCsinB=sinCcosC(cosAsinA +cosBsinB)=sinCcosC•sinBcosA+sinAcosBsinAsinB=sin2Csin...
答案解析:由

a
b
+
b
a
=6cosC,结合余弦定理可得,a2+b2
3c2
2
,而化简
tanC
tanA
+
tanC
tanB
=
sin2C
sinAsinBcosC
=
c2
abcosC
,代入可求
考试点:正弦定理的应用;三角函数的恒等变换及化简求值.
知识点:本题主要考查了三角形的 正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值,属于基本公式的综合应用.