已知向量组a1,a2,…,ar线性无关,证明向量组 b1=a1,b2=a1+a2,…,br=a1+a2+…+ar也线性无关.

问题描述:

已知向量组a1,a2,…,ar线性无关,证明向量组  b1=a1,b2=a1+a2,…,br=a1+a2+…+ar也线性无关.

假设存在一组实数k1,…,kr,使得k1b1+…+krbr=0,
即  k1a1+k2(a1+a2)+…+kr(a1+…+ar)=(k1+…+kr)a1+(k2+…+kr)a2+…+krar=0.
因为向量组a1,a2,…,ar线性无关,所以

k1+…+kr=0
kr−1+kr=0
kr=0

因为方程组的系数矩阵
.
1 1 1
0 1 1
0 0 0 1
.
=1≠0,
所以由齐次线性方程组存在非零解的充要条件可得,
k1=k2=…=kr=0.
故向量组b1,b2,…,br线性无关.