已知向量组a1,a2,…,ar线性无关,证明向量组 b1=a1,b2=a1+a2,…,br=a1+a2+…+ar也线性无关.
问题描述:
已知向量组a1,a2,…,ar线性无关,证明向量组 b1=a1,b2=a1+a2,…,br=a1+a2+…+ar也线性无关.
答
假设存在一组实数k1,…,kr,使得k1b1+…+krbr=0,
即 k1a1+k2(a1+a2)+…+kr(a1+…+ar)=(k1+…+kr)a1+(k2+…+kr)a2+…+krar=0.
因为向量组a1,a2,…,ar线性无关,所以
.
k1+…+kr=0 …
kr−1+kr=0
kr=0
因为方程组的系数矩阵
=1≠0,
.
1
1
…
1
0
1
…
1
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
1
.
所以由齐次线性方程组存在非零解的充要条件可得,
k1=k2=…=kr=0.
故向量组b1,b2,…,br线性无关.