已知向量组{a1,a2,a3},{b1,b2,b3}满足 b1=a1+a2 b2=a1-2a2 b3=a1+a2-7a3,证明向量组a线性无关的充要条件
问题描述：
已知向量组{a1,a2,a3},{b1,b2,b3}满足 b1=a1+a2 b2=a1-2a2 b3=a1+a2-7a3,证明向量组a线性无关的充要条件
充要条件为向量组b线性无关
答
(b1,b2,b3) = (a1,a2,a3)P,即B组可由A组线性表示.
P =
1 1 1
1 -2 1
0 0 -7
因为 |P| = -3*(-7) = 21 ≠ 0
所以 P 可逆.即有 (b1,b2,b3)P^(-1) = (a1,a2,a3)
即A组可由B组线性表示.
所以两个向量组等价.
所以 r(b1,b2,b3) = r(a1,a2,a3)
故 A组线性无关
r(a1,a2,a3) = 3
r(b1,b2,b3) = 3
向量组B线性无关.