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若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（x/y）=f（x）-f（y）．（1）求f（1）的值；（2）解不等式：f（x-1）＜0；（3）若f（2）=1，解不等式f（x+3）-f（1/x）＜2．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 15:09:15

问题描述：

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）解不等式：f（x-1）＜0；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2．

答

（1）在等式中令x=y≠0，则f（1）=0；
（2）∵f（1）=0，
∴f（x-1）＜0等价于f（x-1）＜f（1）
又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

x−1＜1

x−1＞0

，解得x∈（1，2）
（3）由题意，f（4）=f（2）+f（2）=2，故原不等式为：f(x+3)−f(

1

x

)＜f(4)
即f[x（x+3）]＜f（4）
又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
故原不等式等价于：

x+3＞0

1

x

＞0

x(x+3)＜4

，解得0＜x＜1，即x∈（0，1）．