已知函数f（x）=loga（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象． （1）写出函数g（x）的解析式； （2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g
问题描述：
已知函数f（x）=loga（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．
答
（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（-x，-y）在函数f（x）的图象上，
即-y=loga（-x+1），则y＝ −loga(1−x)＝loga
1 1−x
∴g(x)＝loga
1 1−x
（2）f（x）+g（x）≥m 即loga(1+x)+loga
≥m，1 1−x
也就是loga
≥m在[0，1）上恒成立．1+x 1−x
设h(x)＝loga
，x∈[0，1)，1+x 1−x
则h(x)＝loga(−
) ＝loga(−x+1 x−1
) ＝loga(−1−x−1+2 x−1
)2 x−1
由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，
只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．
m的取值范围是（-∞，0]