已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且满足an+1=3Sn，n∈N*．数列{bn}满足bn=log4an． （I）求数列{an}的通项公式； （II）当n≥2时，试比较b1+b2+…+bn与1/2(n−1)2的大小，并说明理由．
问题描述：
已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且满足an+1=3Sn，n∈N*．数列{bn}满足bn=log4an．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）当n≥2时，试比较b1+b2+…+bn与
(n−1)2的大小，并说明理由． 1 2
答
（I）由an+1=3Sn（1），得an+2=3Sn+1（2），
由（2）-（1）得an+1-an+1=3an+1，
整理，得
＝4，n∈N*．an+2 an+1
所以，数列a2，a3，a4，…，an，是以4为公比的等比数列．
其中，a2=3S1=3a1=3，
所以an＝
；
1
n＝1
3•4n−2
n≥2，n∈N*
（II）由题意，bn＝
．
0
n＝1
log43+(n−2)
n≥2，n∈N*
当n≥2时，b1+b2+b3+…+bn
=0+（log43+0）+（log43+1）+…+（log43+n-2）
=(n−1)log43+
(n−2)(n−1)1 2
=
[2log43−1+(n−1)]n−1 2
=
[log4n−1 2
+(n−1)]＞9 4
，(n−1)2 2
所以b1+b2+b3++bn＞
．(n−1)2 2