用数学归纳法证明(x+3)n次方-1能被(x+2)整除

用(x+3)^n表示(x+3)的n次方。
数学归纳法：
n=1时，(x+3)^1-1=x+2, 可以被(x+2)整除。
设n=k时有 (x+3)^k-1 能被 (x+2) 整除，即存在f(x)使得
(x+3)^k-1=f(x)(x+2), 则当n=k+1时：
(x+3)^(k+1)-1
=[(x+3)^(k+1)-(x+3)^k]+[(x+3)^k-1]
=(x+3)^k*[(x+3)-1]+[(x+3)^k-1]
=(x+3)^k*(x+2)+[(x+3)^k-1]
显然(x+3)^k*(x+2)能被x+2整除，而由归纳假设，(x+3)^k-1能被x+2整除，所以上式能被x+2整除，因此命题对k+1也成立。
由数学归纳法原理，(x+3)^n-1能被x+2整除。

当n=1时(x+3)-1=x+2能被（x+2)整除
当n=k时假设结论成立,即(x+3)^k-1能被（x+2)整除
当n=k+1时
(x+3)^(k+1)-1
=(x+3)(x+3)^k-（x+3)+(x+2)
=(x+3)[(x+3)^k-1)]+(x+2)
上式加号前面的能被（x+2)整除,后面的也能被(x+2)整除,所以上式也能被（x+2）整除,也就是说当n=k+1时结论也成立
综上,对任意的正整数n,恒有(x+3)^n-1能被（x+2)整除