如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与⊙O相切于点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=10,连接BD. (1)求证:∠CDE=2∠B;(2)若BD:AB=3:2,求⊙O的半径及DF的长.

问题描述:

如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与⊙O相切于点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=10,连接BD.

(1)求证:∠CDE=2∠B;
(2)若BD:AB=

3
:2,求⊙O的半径及DF的长.

(1)证明:连接OD.
∵直线CD与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CD,∠CDO=90°,∠CDE+∠ODE=90°.
又∵DF⊥AB,∴∠DEO=∠DEC=90°.
∴∠EOD+∠ODE=90°,
∴∠CDE=∠EOD.                      
又∵∠EOD=2∠B,
∴∠CDE=2∠B.                
(2) 连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.            
∵BD:AB=

3
:2,
在Rt△ADB中cosB=
BD
AB
=
3
2

∴∠B=30°.            
∴∠AOD=2∠B=60°.
又∵∠CDO=90°,
∴∠C=30°.               
在Rt△CDO中,CD=10,
∴OD=10tan30°=
10
3
3

即⊙O的半径为
10
3
3
.         
在Rt△CDE中,CD=10,∠C=30°,
∴DE=CDsin30°=5.     
∵DF⊥AB于点E,
∴DE=EF=
1
2
DF.
∴DF=2DE=10.