如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD． （1）求证：∠CDE=2∠B；（2）若BD：AB=3：2，求⊙O的半径及DF的长．
问题描述：
如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD．
（1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若BD：AB=
：2，求⊙O的半径及DF的长．
3
答
（1）证明：连接OD．
∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°．
又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°．
∴∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠EOD．
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=2∠B．
（2） 连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵BD：AB=
：2，
3
∴在Rt△ADB中cosB=
=BD AB
，
3
2
∴∠B=30°．
∴∠AOD=2∠B=60°．
又∵∠CDO=90°，
∴∠C=30°．
在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=
10 3
，
3
即⊙O的半径为
10 3
．
3
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5．
∵DF⊥AB于点E，
∴DE=EF=
DF．1 2
∴DF=2DE=10．