已知集合P=[1/2,2],函数y=log2(ax^2-2x+2)的定义域为S 1）若P∪S=S,求实数a的取值范围 2）若P∩S≠空集
问题描述：
已知集合P=[1/2,2],函数y=log2(ax^2-2x+2)的定义域为S 1）若P∪S=S,求实数a的取值范围 2）若P∩S≠空集
已知集合P=[1/2,2],函数y=log2(ax^2-2x+2)的定义域为S
1）若P∪S=S,求实数a的取值范围
2）若P∩S≠空集求实数a的取值范围
答
1）若P∪S=S,必有2∈S,所以a*2²-2*2+2>0,即a>1/2,
又因为当a>1/2时,ax²-2x+2=a(x-1/a)²+2-1/a>0恒成立,即S=R,满足P∪S=S.
所以实数a的取值范围是(1/2,+∞).
2）若P∩S=空集,则在区间[1/2,2]上,ax²-2x+2≤0恒成立,
即a≤(2x-2)/x²,对于x∈[1/2,2]恒成立.
设g(x)=(2x-2)/x²,则a小于或等于g(x)在区间[1/2,2]上的最小值.
因为g'(x)=-2(x-2)/x³ ≥0,所以g(x)在区间[1/2,2]上为增函数,
g(x)的最小值是g(1/2)=-4,
所以a≤-4.
故当P∩S≠空集时,实数a的取值范围是(-4,+∞).