设函数f(x)=x2+2ax-a-1,x∈[0,2],a为常数. (1)求f(x)的最小值g(a)的解析式; (2)在(1)中,是否存在最小的整数m,使得g(a)-m≤0对于任意a∈R均成立,若存在,求出m的值;若不

问题描述:

设函数f(x)=x2+2ax-a-1,x∈[0,2],a为常数.
(1)求f(x)的最小值g(a)的解析式;
(2)在(1)中,是否存在最小的整数m,使得g(a)-m≤0对于任意a∈R均成立,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

(1)对称轴x=-a
①当-a≤0⇒a≥0时,
f(x)在[0,2]上是增函数,x=0时有最小值f(0)=-a-1…(1分)
②当-a≥2⇒a≤-2时,
f(x)在[0,2]上是减函数,x=2时有最小值f(2)=3a+3…(1分)
③当0<-a<2⇒-2<a<0时,
f(x)在[0,2]上是不单调,x=-a时有最小值f(-a)=-a2-a-1…(2分)
,g(a)=

−a−1
a2−a
3a+3
  a≥0
−1
−2<a<0
a≤−2
…(2分)
(2)存在,
由题知g(a)在(−∞,−
1
2
]
是增函数,在[−
1
2
,+∞)
是减函数
a=−
1
2
时,g(a)max=−
3
4
,…(2分)
g(a)-m≤0恒成立
⇒g(a)max≤m,
m≥−
3
4
…(2分),
∵m为整数,
∴m的最小值为0…(1分)