设A,B是n阶实矩阵,且R（A+B）=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵.
问题描述：
设A,B是n阶实矩阵,且R（A+B）=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵.
答
对任意非零X,由于 r(A+B) = n,所以 (A+B)X ≠ 0所以 AX+BX ≠ 0.所以 AX,BX 不同时为零.又 X'(A'A+B'B)X = X'A'AX + XB'BX= (AX)'(AX) + (BX)'(BX)> 0.(这是由于 AX,BX 不同时为零)所以A'A+B'B是正定矩阵 ....