设A是n阶矩阵,且A^2=A,证明r(A)+r(A-E)=n
问题描述:
设A是n阶矩阵,且A^2=A,证明r(A)+r(A-E)=n
答
证明: 首先有两个个定理要知道
(1)若AB=0.则r(A)+r(B)(2)r(A)+r(B)>=r(A+或 -B)
由A^2=A,得A(A-E)=0,
所以r(A)+r(A-E)另外r(A)+r(A-E)>=r[A-(A-E)]
=r(E)=n
所以r(A)+r(A-E)=n
答
书上例题.由A^2=A得出A的最小多项式只可能是三种情形
1)A=0,显然命题成立
2)A-E=0,命题也显然成立
3)A(A-E)=0,最小多项式没有重根,也就是说没有若当块,换句话说就是特征值0,1的特征子空间张满全空间.
又因为Ax=0的解空间维数等于n-r(A),(A-E)x=0的解空间维数等于n-r(A-E),
n-r(A)+n-r(A-E)=n,所以有r(A)+r(A-E)=n
1),2)可以归为3情况,可以不用讨论1),2)