如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上. (1)求∠AED的度数; (2)求证:AB=BC.

问题描述:

如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.

(1)求∠AED的度数;
(2)求证:AB=BC.

(1)∵∠BCD=75°,AD‖BC,
∴∠ADC=105°.
又∵等边△DCE中,∠CDE=60°,
∴∠ADE=45°.
∵AB⊥BC,AD‖BC,
∴∠DAB=90°,
∴∠AED=45°.
(2)∵直角△AED中,∠AED=45°,即△ADE是等腰直角三角形,
∴AD=AE,故点A在线段DE的垂直平分线上.
∵△DCE是等边三角形得CD=CE,
∴点C也在线段DE的垂直平分线上.
∴AC就是线段DE的垂直平分线,即AC⊥DE.
连接AC,
∵∠AED=45°,
∴∠BAC=45°,
又AB⊥BC,
∴BA=BC.