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在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E．（1）如图①，求DE的长（用a，b表示）；（2）如图②，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与（1）相同？

分类: 作业答案 • 2021-12-28 14:12:08
问题描述：

在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E．
（1）如图①，求DE的长（用a，b表示）；
（2）如图②，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与（1）相同？

答

（1）∵M是BC的中点，BC=b，
∴BM=

1
2
b，
∴AM=
AB2+BM2
=
a2+(
b
2
)2
=
4a2+b2
2
，
∵∠BAM+∠DAE=∠BAD=90°，
∠BAM+∠AMB=180°-90°=90°，
∴∠AMB=∠DAE，
又∵∠B=∠AED=90°，
∴△ABM∽△DEA，
∴
DE
AB
=
AD
AM
，
DE
a
=
b
4a2+b2
2
，
解得DE=
2ab
4a2+b2
=
2ab
4a2+b2
4a2+b2
；
（2）垂足E落在点M或AM的延长线上时结论与（1）相同，求解过程可以与（1）完全相同．

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