如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,BC=2AB,求证:四边形ABCD是等腰梯形.

问题描述:

如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,BC=2AB,求证:四边形ABCD是等腰梯形.

证明:过A、D两点分别作BC的垂线,交BC于E、F点,
∴∠AEF=∠DFE=90°,
∵AD∥CB,
∴∠DAE=∠AEF=∠DFE=90°,
∴四边形AEFD是矩形,
∴AD=EF,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=30°,
∵AD∥CB,
∴∠ADB=∠DBC=∠ABD,
∴AB=AD,
∴EF=AD=AB,
∵BC=2AB,
∴BE+FC=AB.
由∠ABE=60°,可知BE=FC=

1
2
AB
易证△ABE≌△DCF,得AB=DC.