如图,已知AB⊥BC,CD⊥BC,∠AMB=75°,∠DMC=45°,AM=MD.求证:AB=BC.

问题描述:

如图,已知AB⊥BC,CD⊥BC,∠AMB=75°,∠DMC=45°,AM=MD.求证:AB=BC.

证明:如右图所示,过A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E,
∵AB⊥BC,CD⊥BC,AE⊥CD,
∴∠B=∠C=∠E=90°,
∴四边形ABCE是长方形,
∵∠AMB=75°,∠DMC=45°,
∴∠AMD=60°,∠CDM=45°,
又∵AM=MD,
∴△AMD是等边三角形,
∴∠ADM=∠MAD=60°,AM=AD,∠ADE=75°,
∵∠DMC=45°,
∴∠AMB=180°-45°-60°=75°,
∴∠AMB=∠ADE,
在△ADE与△AMB中,

∠B=∠E=90°
∠AMB=∠ADE
AM=MD

∴△ADE≌△AMB,
∴AB=AE,
∴四边形ABCE是正方形,
∴AB=BC.