求解微分方程 的 6y''+9y'+5y=1/2+(1/2)cos(2x)

(i)首先先求出齐次方程通解,由6y''+9y'+5y=0可知特征根方程为6λ²+9λ+5=0
求得λ=-3/4±√39i/12
所以齐次方程通解为y(x)=C1e^[(-3/4+√39i/12)x]+C2e^[(-3/4-√39i/12)x]
变成实数表达形式为y(x)=e^(-3x/4)[C1cos(√39x/12)+C2sin(√39x/12)] (C1、C2为任意实数)
(ii)然后求非齐次特解
定义微分算子D（即求导运算）：d/dx=D,1/D=∫,本题里记L(D)=6D²+9D+5.设特解为y*
则有(6D²+9D+5)y*=1/2+[cos(2x)]/2
所以,y*=1/(6D²+9D+5) {1/2+[cos(2x)]/2}=1/(6D²+9D+5) {1/2}+1/(6D²+9D+5) {cos(2x)]/2}
下面分别计算两部分然后相加即可.
第一部分1/(6D²+9D+5)由Taylor展开有
1/(6D²+9D+5) {1/2}=(1/5-9D/25+o(D)) {1/2}=1/10
第二部分cos(2x)是e^(2ix)的实部,利用公式若L(D)≠0,则1/L(D) e^(kx)=e^(kx)/F(k)
考察(6D²+9D+5)y*=e^(2ix)
y*=1/(6D²+9D+5) {e^(2ix)}=e^(2ix)/[6*(2i)²+9*(2i)+5]=e^(2ix)/(-19+18i)=(-19-18i)(cos(2x)+isin(2x))/685=[-19cos(2x)+18sin(2x)]/685-[18cos(2x)+19sin(2x)]i/685
因为原式是实部,所以求出来的特解也对应其实部[-19cos(2x)+18sin(2x)]/685
所以,特解是y*=[-19cos(2x)+18sin(2x)]/685*(1/2)+1/10=[-19cos(2x)+18sin(2x)]/1370+1/10
综合上述,原方程的解为y(x)=e^(-3x/4)[C1cos(√39x/12)+C2sin(√39x/12)]+[-19cos(2x)+18sin(2x)]/1370+1/10