设函数f(x)=xsinx,x∈[−π2,π2],若f(x1)>f(x2),则下列不等式一定成立的是(  ) A.x1+x2>0 B.x12>x22 C.x1>x2 D.x12<x22

问题描述:

设函数f(x)=xsinx,x∈[−

π
2
π
2
],若f(x1)>f(x2),则下列不等式一定成立的是(  )
A. x1+x2>0
B. x12>x22
C. x1>x2
D. x12<x22

∵f(-x)=-x•sin(-x)=xsinx=f(x),
∴函数f(x)=xsinx为偶函数,又f′(x)=sinx+xcosx,
x∈[0,

π
2
]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,x∈[−
π
2
,0]
时,f′(x)≤0,f(x)单调递减;
∴f(x1)>f(x2)⇔f(|x1|)>f(|x2|)⇔|x1|>|x2|⇔x12>x22
故选B.