P为矩形ABCD内的一点,且PA=2,PB=3,PC=4,则PD的长等于多少?
问题描述：
P为矩形ABCD内的一点,且PA=2,PB=3,PC=4,则PD的长等于多少?
答
过P作EF∥AB分别交AD、BC于E、F,再过P作GH∥AD分别交AB、CD于G、H.
容易证得：PEAG、PGBF、PFCH、PHDE都是矩形.
∴AG＝EP＝DH、BG＝PF＝CH、AE＝PG＝BF、DE＝PH＝CF.
且∠EAG＝∠FBG＝∠EDH＝∠FCH＝90°.
设AG＝a、BG＝b、AE＝c、DE＝d.
由勾股定理,有：
a^2＋c^2＝PA^2＝4、b^2＋c^2＝PB^2＝9、b^2＋d^2＝PC^2＝16、PD^2＝a^2＋d^2.
将a^2＋c^2＝4、b^2＋d^2＝16两式相加,得：（a^2＋d^2）＋（b^2＋c^2）＝20,
将b^2＋c^2＝9代入（a^2＋d^2）＋（b^2＋c^2）＝20中,得：（a^2＋d^2）＋9＝20,
∴a^2＋d^2＝11,∴PD^2＝a^2＋d^2＝11,∴PD＝√11.