已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长AA1=2， （1）E为棱CC1的中点，求证：B1D1⊥AE； （2）求：二面角C-AE-B的平面角的正切值； （3）求：点D1到平面EAB的距离．
问题描述：
已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长AA1=2，
（1）E为棱CC1的中点，求证：B1D1⊥AE；
（2）求：二面角C-AE-B的平面角的正切值；
（3）求：点D1到平面EAB的距离．
答
（1）证明：连接A1C1，
∵AA1⊥平面A1C1，
∴A1C1是AE在平面A1C1上的射影，
在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1
∴B1D1⊥AE
（2）连接BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连接OF
∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE
∴OF是BF在平面EAC上的射影，∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角
在正方形ABCD中，BO=AO=
AC=1 2
2
在Rt△ACE中，AE=3，∵△AOF∽△AEC，
∴
＝OA OF
AE EC
∴OF=
=OA•EC AE
2
3
在Rt△BOF中，tan∠BFO=
=3OB OF
（3）过C1作C1G⊥BE交BE的延长线于G，∵AB⊥平面BC1，G1G⊂平面BC1，
∴AB⊥C1G，∴C1G⊥平面ABE，
∵D1C1∥AB，D1C1⊄平面ABE，
∴D1C1∥平面ABE，
∴D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离
∵△C1GE∽△BCE，
∴C1G：C1E=BC：BE，
∴C1G=
=BC•C1E BE
2
5
5
∴D1到面ABE的距离等于
2
5
5