如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1． （1）求证：E，B，F，D1四点共面； （2）若点G在BC上，BG=2/3，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面B
问题描述：
如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1．
（1）求证：E，B，F，D1四点共面；
（2）若点G在BC上，BG=
，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1；2 3
（3）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ．
答
（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F∥CN，
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，又
BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN∥BE，所以D1F∥BE，所以E，B，F，D1四点共面；
（2）因为GM⊥BF所以△BCF∽△MBG，
所以
＝MB BC
，即BG CF
＝MB 3
，所以MB=1，因为AE=1，
2 3 2
所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1
，且EM在平面ABB1A1内，所以EM⊥面BCC1B1；
（3）EM⊥面BCC1B1，所以EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF，
所以∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角，
∠EMH=90°，所以tanθ＝
，ME=AB=3，△BCF∽△MHB，ME MH
所以3：MH=BF：1，BF=
＝
22+32
，
13
所以MH=
，所以tanθ＝3
13
=ME MH
．
13