已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G. (1)求证:△DFB≌△DAC; (2)求证:CE=1/2BF.

问题描述:

已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.

(1)求证:△DFB≌△DAC;
(2)求证:CE=

1
2
BF.

(1)证明:∵CD⊥AB,∠ABC=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.
∵∠DBF=90°-∠BFD,∠DCA=90°-∠EFC,且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
在Rt△DFB和Rt△DAC中,

∠BDF=∠CDA
∠A=∠DFB
BD=DC

∴Rt△DFB≌Rt△DAC(AAS).
(2)证明:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
在Rt△BEA和Rt△BEC中,
∠AEB=∠CEB
BE=BE
∠ABE=∠CBE

∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA).
CE=AE=
1
2
AC

又由(1),知BF=AC,
CE=
1
2
AC=
1
2
BF