已知函数f(x)=2cos^2ωx+2sinωx·cosωx+1(x∈R,ω＞0)的最小正周期为π/2
问题描述：
已知函数f(x)=2cos^2ωx+2sinωx·cosωx+1(x∈R,ω＞0)的最小正周期为π/2
(1)求ω的值
(2)求函数f(x)的单调减区间
(3)若f(x)-a^2＞2a在x∈[0,π/8]上恒成立,求实数a的取值范围
第一个问可以忽略步骤~我已经解出来了,只需要告诉我结果是不是ω=2
另外两个问我要详细步骤
答
(1)
f(x)=2（1+cos2ωx）/2 +sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx+2
=√2(sin2ωxcosπ/4+cos2ωxsinπ/4)+2
=√2sin(2ωx+π/4)+2.
由题设,函数f(x)的最小正周期是π/2,可得2π/2ω=π/2,
所以ω=2.
(2)由(1)知,f(x)= √2sin(4x+π/4)+2
π/2+2kπ≤4x+π/4≤3π/2+2kπ
π/4+2kπ≤4x≤5π/4+2kπ
π/16+kπ/2≤x≤5π/16+kπ/2
单调递减区间[π/16+kπ/2,5π/16+kπ/2]
(3)
f(x)-a^2>2a
√2sin(4x+π/4)+2-a^2>2a
√2sin(4x+π/4)>a^2+2a-2
f(x)-a^2＞2a在x∈[0,π/8]上恒成立
而√2sin(4x+π/4)在x∈[0,π/8]时的最小值=1,则
1>a^2+2a-2
a^2+2a-3