您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  求证：1/n+1+1/n+2+…+1/3n＞5/6（n≥2，n∈N*）．

求证：1/n+1+1/n+2+…+1/3n＞5/6（n≥2，n∈N*）．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 10:50:41
问题描述：

求证：

1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
＞
5
6
（n≥2，n∈N*）．

答

证明：（1）当n=2时，左边=

1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
＝
57
60
＞
50
60
＝
5
6
，不等式成立；
（2）假设n=k（k≥2，k∈N*）时命题成立，即
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k
＞
5
6
成立．
则当n=k+1时，左边=
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
3k
+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3(k+1)

=
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k
+(
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
−
1
k+1
)
＞
5
6
+(3×
1
3k+3
−
1
k+1
)=
5
6
．
所以当n=k+1时不等式也成立．
综上由（1）（2）可知：原不等式对任意n≥2（n∈N*）都成立．

相关推荐