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求微分方程xy′lnx+y=x（lnx+1）的通解．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 10:45:39

问题描述：

求微分方程xy′lnx+y=x（lnx+1）的通解．

答

该方程为一阶线性微分方程
y′+

1

xlnx

y＝

lnx+1

lnx

因此，P(x)＝

1

xlnx

，Q(x)＝

lnx+1

lnx

．
代入一阶线性微分方程的求解公式，有
y＝e−∫

1

xlnx

dx(∫

lnx+1

lnx

e∫

1

xlnx

dxdx+C)
=

1

lnx

(∫

lnx+1

lnx

•lnxdx+C)
=

1

lnx

(∫( lnx+1 )dx+C)
=

1

lnx

(xlnx+C)
所以，原方程的通解为
y＝

1

lnx

(xlnx+C)＝x+

C

lnx