设a、b、c是三角形的三边长,二次函数y=(a+b)x2+2cx-(a-b)在x=−1/2时,取得最小值−a/2,求这个三角形三个内角的度数.

问题描述:

设a、b、c是三角形的三边长,二次函数y=(a+b)x2+2cx-(a-b)在x=−

1
2
时,取得最小值
a
2
,求这个三角形三个内角的度数.

将函数y=(a+b)x2+2cx-(a-b)化为顶点式为:y=(x+

c
a+b
)2+
−(a+b)(a−b)−c2
a+b

由函数在x=−
1
2
时,取得最小值
a
2

可得:
c
a+b
1
2
−(a+b)(a−b)−c2
a+b
=−
a
2

由①得a+b=2c,代入②得a-2b+c=0,得:a=b=c,
所以三角形为等边三角形,
故三个内角度数均为60°.