已知向量m=(2cosx,根号3cosx-sinx),n=(sin(x+派/6),sinx),且满足f(x)=m·n.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设三角形ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且向量AB·向量AC=根号3,求边BC的最小值.
问题描述：
已知向量m=(2cosx,根号3cosx-sinx),n=(sin(x+派/6),sinx),且满足f(x)=m·n.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设三角形ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且向量AB·向量AC=根号3,求边BC的最小值.
答
1、f(x)=m*n=(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＋2√3sinxcosx=cos²x－sin²x＋√3sin2x=cos2x＋√3sin2x=2sin(2x＋π/6)，单调增区间：2kπ－π/2≤2x＋π/6≤2kπ＋π/2，得：kπ－π/3≤x≤kπ＋π/6，增区间是[kπ－π/3，kπ＋π/6]，其中k是整数。
2、f(A)=1，得：sin(2A＋π/6)=1，则A=π/6。因a/sinA=b/sinB=c/sinC，则：a/sinA=(b＋c)/(sinB＋sinC)，代入，得：sinB＋sinC=1，sinB＋sin(120°－B)=1，sinB＋(√3/2)cosB－(1/2)sinB=1，(1/2)sinB＋(√3/2)cosB=1，sin(B＋π/3)=1，得：B=30°，所以C=120°
3、根号3-1
答
向量m=(2cosx,√3cosx-sinx),n=(sin(x+π/6),sinx),且满足f(x)=m·nf(x)=m·n=2√3sinxcosx+cos²x-sin²x=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π/6)(1).由2kπ-π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2,k∈Z,得：kπ-π/3≤x≤kπ+π...