等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，公差为2，在等比数列{bn}中，当n≥2时，b2+b3+…+bn=2n+p（p为常数）， （1）求an和Sn； （2）求b1，p和bn； （3）若Tn=Snbn对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立
问题描述：
等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，公差为2，在等比数列{bn}中，当n≥2时，b2+b3+…+bn=2n+p（p为常数），
（1）求an和Sn；
（2）求b1，p和bn；
（3）若Tn=
对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，求C的最小值． Sn bn
答
（1）因为等差数列数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，d=2
an=2n，（n∈N*）；Sn=n2+n；…（2分）
（2）由于当n≥2时，b2+b3+…+bn=2n+p（p为常数），
b2+b3+…+bn+bn+1=2n+1+p
两式相减得：bn+1=2n，…（4分）
因为数列{bn}为等比数列，所以b1=1，b2=2，
由条件可得p=-2，bn=2n-1，（n∈N*）；…（7分）
（3）因为Tn=
，若Tn=
n2+n 2n−1
对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，Sn bn
则需C大于或等于Tn的最大值，…（8分）
=Tn+1 Tn
×(n+1)(n+2) 2n
=2n−1 n(n+1)
，…（10分）n+2 2n
令
≥1得：n≤2，Tn+1 Tn
即有：T1=2≤T2=3=T3=3≥T4=
≥T5=5 2
≥…≥Tn≥…，…（12分）15 8
即数列{Tn}是先增后减的数列，且Tn的极限是0，
故有Tn的最大值为T2=T3=3，…（14分）
又对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，∴C≥3，即C的最小值为3．…（16分）