已知函数f（x）=-x3+ax在（0，1）上是增函数．（1）求实数a的取值范围A；（2）当a为A中最小值时，定义数列{an}满足：a1=b∈（0，1），且2an+1=f（an），试比较an与an+1的大小．
问题描述：
已知函数f（x）=-x3+ax在（0，1）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围A；
（2）当a为A中最小值时，定义数列{an}满足：a1=b∈（0，1），且2an+1=f（an），试比较an与an+1的大小．
答
知识点：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查数学归纳法的应用，用数学归纳法证明：an∈（0，1），对n∈N*恒成立是关键，也是难点所在，考查数列与函数的综合，属于难题．
（1）∵f（x）=-x3+ax，
∴f′（x）=-3x2+a，
∵f（x）=-x3+ax在（0，1）上是增函数，
∴f′（1）=-3+a≥0，
∴a≥3，即A=[3，+∞）．
（2）当a=3时，由题意：an+1=
f（an）=-1 2
an3+1 2
an，且a1=b∈（0，1），3 2
以下用数学归纳法证明：an∈（0，1），对n∈N*恒成立．
①当n=1时，a1=b∈（0，1）成立；
②假设n=k时，ak∈（0，1）成立，那么当n=k+1时，
ak+1=-
ak3+1 2
ak，由①知g（x）=（-x3+3x）在（0，1）上单调递增，3 2
∴g（0）＜g（ak）＜g（1）
即0＜ak+1＜1，
由①②知对一切n∈N*都有an∈（0，1）
而an+1-an=-
an3+1 2
an-an=3 2
an（1-an2）＞01 2
∴an+1＞an．
答案解析：（1）当x∈（0，1）时，函数f（x）=-x3+ax在（0，1）上是增函数可得f′（1）=-3+a≥0，可求得实数a的取值范围A；
（2）当a=3时，可求得an+1=
f（an）=-1 2
an3+1 2
an，且a1=b∈（0，1），用数学归纳法证明an∈（0，1），对n∈N*恒成立，再作差比较an与an+1的大小．3 2
考试点：利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合．
知识点：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查数学归纳法的应用，用数学归纳法证明：an∈（0，1），对n∈N*恒成立是关键，也是难点所在，考查数列与函数的综合，属于难题．