数列｛Xn｝中,X1>0,a>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn).判断数列{Xn}的极限是否存在；若存在,求x->无穷时数列的极限PS主要证明数列递减?（关键：为什么a/Xn²≤1）
问题描述：
数列｛Xn｝中,X1>0,a>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn).
判断数列{Xn}的极限是否存在；若存在,求x->无穷时数列的极限
PS主要证明数列递减?（关键：为什么a/Xn²≤1）
答
首先xn≥√a,n≥2
x(n+1) - xn = 1/2(a/xn - xn) 所以x(n+1)≥xn≥√a
所以{Xn}的极限存在
设极限为x，对数列两边取极限，有
x = 1/2(x+a/x)
x=√a(取正根)
答
强烈要求加分.
这个就是差分方程,关于他的解都有定论
Xn+1 - 根号a=1/2（根号Xn - 根号（a/Xn））^2
Xn+1 + 根号a=1/2（根号Xn + 根号（a/Xn））^2
(Xn+1 - 根号a)/(Xn+1 + 根号a) = [(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a) ]^2
因此
(Xn - 根号a)/(Xn + 根号a) = [(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a) ]^（2^(n-1)）
显然
|(X1 - 根号a)/(X1 + 根号a)|