已知直线l:(a-2)y=(3a-1)x-1①求证:无论a为何值时,直线总过第一象限;②为使这条直线不过第二象限,求a的取值范围;③若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B.△AOB的面积为S且-2

问题描述:

已知直线l:(a-2)y=(3a-1)x-1①求证:无论a为何值时,直线总过第一象限;②为使这条直线不过第二象限,求a的取值范围;③若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B.△AOB的面积为S且-2≤a≤-1,求S的最小值并求此时直线l的方程.

①∵a(3x-y)+(-x+2y-1)=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点(

1
5
3
5
).
∴直线系恒过第一象限内的定点(
1
5
3
5
)

②当a=2时,直线为x=
1
5
,不过第二象限;当a≠2时,直线方程化为y=
3a−1
a−2
x−
1
a−2

不过第二象限的充要条件为
3a−1
a−2
>0
1
a−2
≤0
⇒a>2

∴a≥2时直线不过第二象限.
③令x=0得y=
−1
a−2

令y=0得x=
1
3a−1
S=
1
2
:(−
1
3a−1
)×(−
1
a−2
)=
1
2
×
1
3a2−7a+2

∵S在a∈[-2,-1]↗∴当a=-2时Smin
1
56

此时l:7x-4y+1=0