若函数f(x)=13x3-x在(a，10-a2)上有最小值，则a的取值范围为 ___ ．
问题描述：
若函数f(x)=
x3-x在(a，10-a2)上有最小值，则a的取值范围为 ___ ．1 3
答
由已知，f′（x）=x2-1，有x2-1≥0得x≥1或x≤-1，
因此当x∈[1，+∞），（-∞，-1]时f（x）为增函数，在x∈[-1，1]时f（x）为减函数．
又因为函数f(x)=
x3-x在(a，10-a2)上有最小值，所以开区间（a，10-a2）须包含x=1，1 3
所以函数f（x）的最小值即为函数的极小值f（1）=-
，2 3
又由f（x）=-
可得2 3
x3-x=-1 3
，于是得（x-1）2（x+2）=02 3
即有f（-2）=-
，因此有以下不等式成立：2 3
，可解得-2≤a＜1，
-2≤a＜1 10-a2＞1
答案为：[-2，1）
答案解析：先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，再根据已知在区间（a，10-a2）有最小值确定出参数a的取值范围．
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值．
知识点：本题考查函数的导数，利用导数求函数的极值和最值的问题，分类讨论的思想方法．本题需要注意：在开区间内函数的极小值（本题中也是最小值）在函数导数为零的点处取得，即若x0∈（a，b），且f′（x0）=0，则函数f（x）的极值是f（x0）；再由题意可得这个极值也是函数的最值．