已知数列{an}a1=3 an+1=(3an+2)/(an+2) bn=(an-2)/(an+1) 求证bn是等比数列

问题描述:

已知数列{an}a1=3 an+1=(3an+2)/(an+2) bn=(an-2)/(an+1) 求证bn是等比数列

这涉及到不动点,不过也能做。把 an+1和 an当成x来解,解得两个解2和-1,所以先将an+1=(3an+2)/(an+2)左右减2得到a式,左右减-1的话得到b式,然后两个式子一除就行了。
上面说的2和-1就是是不动点,可以根据这个方法来解这种类似的分式方程
要简单的话,就利用第二个式子,转化为用bn来表示an的形式,然后代入第一个式子就可以了

b(n+1)=[a(n+1)-2]/[a(n+1)+1]=[(3an+2)/(an+2)-2]/[(3an+2)/(an+2)+1]=[3an+2-2an-4]/[3an+2an+2]=[an-2]/[5(an +1)]bn=(an-2)/(an+1)所以 b(n+1)/b=1/5所以 {bn}是等比数列