已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(  ) A.32 B.26 C.27 D.42

问题描述:

已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+

3
y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(  )
A. 3
2

B. 2
6

C. 2
7

D. 4
2

设椭圆长轴长为2a(且a>2),则椭圆方程为

x2
a2
+
y2
a2−4
=1.
由,
x2
a2
+
y2
a2−4
=1
x+
3
y+4=0
得(4a2-12)y2+8
3
(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0.
∵直线与椭圆只有一个交点,∴△=0,即192(a2-4)2-16(a2-3)×(16-a2)×(a2-4)=0.
解得a=0(舍去),a=2(舍去),a=
7
.∴长轴长2a=2
7
.故选C.