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已知数列{an}为等比数列，a2=6，a5=162． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Sn是数列{an}的前n项和，证明Sn•Sn+2S2n+1≤1．

分类: 作业答案 • 2021-12-23 13:55:00
问题描述：

已知数列{an}为等比数列，a2=6，a5=162．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，证明

Sn•Sn+2
S 2n+1
≤1．

答

（1）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q，a5=a1q4．
依题意，得方程组

a1q＝6
a1q4＝162

解此方程组，得a1=2，q=3．
故数列{an}的通项公式为an=2•3n-1．
（2）Sn＝
2(1−3n)
1−3
＝3n−1．
Sn•Sn+2
S 2n+1
＝
32n+2−(3n+3n+2)+1
32n+2−2•3n+1+1
≤
32n+2−2
3n•3n+2
+1
32n+2−2•3n+1+1
＝1，
即
Sn•Sn+2
S 2n+1
≤1．

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