高数 偏导数 习题

答：
一.
1.δz/δx=3x^y-y^3; δz/δy=x^3-3y^2x
2.δz/δx=y/[(x^2+y^2)tan(x/y)]; δz/δy=-x/[(x^2+y^2)tan(x/y)]
3.δz/δx=y^2(1+xy)^(y-1); δz/δy=[ln(1+xy)+xy/(1+xy)](1+xy)^y
4.δz/δx=(x^2-y^2)/x^2; δz/δy=(y^2-x^2)/y^2
5.δz/δx=(x+y^2+2y+1)e^x; δz/δy=2(y+1)e^x
二.
为简便计算,可先代入y=1.
f(x,1)=x
所以fx(x,1)=1
三.
δz/δx=4x^3-8xy^2; δz/δy=4y^3-8x^2y
(δz)^2/δx^2=12x^2-8y^2; (δz)^2/δy^2=12y^2-8x^2;
(δz)^2/(δxδy)=-16xy
四.
fx(x,y)=(6-2x)(4y-y^2);fy(x,y)=(6x-x^2)(4-2y)
fxx(x,y)=-2(4y-y^2),fxy(x,y)=(6-2x)(4-2y),fyy(x,y)=-2(6x-x^2)
当fx(x,y)=0,fy(x,y)=0时,得解x=3,y=2
所以A=-80,
所以在(3,2)处有极大值f(3,2)=-53
五.
拉格朗日函数.
L=xy+λ(x+y-1)
Lx=y+λ;
Ly=x+λ
Lλ=x+y-1
当Lx=Ly=Lλ=0时,解得：
λ=-1/2,x=1/2,y=1/2
所以此时z有极大值1/4
六.
设长为x,宽为y,高为z.有拉格朗日函数:
L=xyz+λ(2xy+2yz+2xz-a^2)
Lx=yz+2yλ+2zλ
Ly=xz+2xλ+2zλ
Lz=xy+2xλ+2yλ
Lλ=2xy+2yz+2xz-a^2
当Lx=Ly=Lz=Lλ=0时
解得：x=y=z=a/√6,λ=a/4√6
所以此时V=xyz有极大值a^3/6√6.