已知数列{an}的前n项和为Tn=3/2n2-1/2n,且an+2+3log4bn=0(n∈N*) (I)求{bn}的通项公式; (II)数列{cn}满足cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Sn; (III)若cn≤1/4m2+m-1
问题描述:
已知数列{an}的前n项和为Tn=
n2-3 2
n,且an+2+3log4bn=0(n∈N*)1 2
(I)求{bn}的通项公式;
(II)数列{cn}满足cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Sn;
(III)若cn≤
m2+m-1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围. 1 4
答
(I)由Tn=
n2-3 2
n,易得an=3n-2代入到an+2+3log4bn=0(n∈N*)根据对数的运算性质化简bn=(1 2
)n(n∈N*),1 4
(II)cn=an•bn=(3n−2)×(
)n,∴Sn=1×1 4
+4×(1 4
)2++(3n−2)×(1 4
)n∴1 4
Sn=1×(1 4
)2+4×(1 4
)3++(3n−2)×(1 4
)n+11 4
两式相减整理得Sn=
−2 3
×(3n+2 3
)n1 4
(III)cn=an•bn=(3n-2)•(
)n∴cn+1-cn=(3n+1)•(1 4
)n+1-(3n-2)•(1 4
)n=9(1-n)•(1 4
)n+1(n∈N*),1 4
∴当n=1时,c2=c1=
,1 4
当n≥2时,cn+1<cn,即c1=c2>c3>…>cn,
∴当n=1时,cn取最大值是
,又cn≤1 4
m2+m-1对一切正整数n恒成立∴1 4
m2+m-1≥1 4
,即m2+4m-5≥0,1 4
解得:m≥1或m≤-5.