多元函数的极限的问题呢
多元函数的极限的问题呢
多元函数极限的定义：设二元函数f(p)=f(x,y)的定义域D,p0(x0,y0)是D的聚点 如果存在函数A 对于任意给定的正数ε 总存在正数δ 使得当点p（x,y）∈D∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf(p)-AⅠ=Ⅰf(x,y)-AⅠ﹤ε成立 那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)‐(x0,y0)时的极限 其实我很疑惑呢 就是聚点的定义包括边界点 但是边界点好像不存在极值吧 因为如果界线外趋近于p0点极限不存在呢 那么为什么极限的定义里有边界点的极限呢
我们讨论函数的极限,是在函数的定义域中讨论,对于定义域边界上的的点,讨论函数在该点的极限也是考察它在定义域中的一个邻域中的情况,与边界外的点无关.所以,对边界上的点也是可以存在极限的.例如,对一元函数y=√sinx/√x,0是定义域（0,+∞)的端点,x趋于+0时,limy=1极限存在.
PS,对一元函数在区间端点处讨论极限,我们可以讨论其左或右极限,但对于多元函数没有了左右极限的概念,对于边界点的极限和内点的极限一样讨论,只是在讨论时我们只关注该点的某个邻域在定义区域内的那部分,这也是我们必须引入聚点概念的一个原因.边界点若不是聚点则函数在这点就没有极限了.你举得例子是一元函数的极限的例子呢我想说我问的是多元函数的极限问题呢其实把我的话简单一点就是多元函数 边界点存在极限么但是从定义域外的方向趋近于边界点极限肯定没有的那么为什么多元函数的定义域是聚点呢不是内点求回答啊请仔细看我的回答，一元函数是多元函数的特例，数轴上区间也是空间区域的特例，可以参考。若一定要二元函数，可以考察z=sin(xy)/(xy)，定义域为除去x、y轴的整个平面，所有边界上的点处极限都存在等于1PS，再说一遍，考察极限不需要考虑定义域外的情况，只在定义域内考虑。定义域外天塌了也没关系。