在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AB=8,BC=14,点E、F分别在边AB、CD上,EF∥AD,点P与AD在直线EF的两侧,∠EPF=90°,PE=PF,射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N,设AE=x,MN=y.(1)求边AD的长;(2)如图,当点P在梯形ABCD内部时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;(3)如果MN的长为2,求梯形AEFD的面积.

问题描述:

在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AB=8,BC=14,点E、F分别在边AB、CD上,EF∥AD,点P与AD在直线EF的两侧,∠EPF=90°,PE=PF,射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N,设AE=x,MN=y.
(1)求边AD的长;
(2)如图,当点P在梯形ABCD内部时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)如果MN的长为2,求梯形AEFD的面积.

(1)过D作DH⊥BC,DH与EF、BC分别相交于点G、H,∵梯形ABCD中,∠B=90°,∴DH∥AB,又∵AD∥BC,∴四边形ABHD是矩形,∵∠C=45°,∴∠CDH=45°,∴CH=DH=AB=8,∴AD=BH=BC-CH=6.(2)∵DH⊥EF,∠DFE=∠C=∠FDG=...
答案解析:(1)过D作DH⊥BC,DH与EF、BC分别相交于点G、H,从而判定四边形ABHD是矩形,在RT△DHC中求出CH的长,利用AD=BH=BC-CH可得出AD的长.
(2)首先确定PM=PN,过点P作QR⊥EF,QR与EF、MN分别相交于Q、R,根据∠MPN=∠EPF=90°,QR⊥MN,可表示出PQ、PR,继而可得出y关于x的函数解析式,也能得出定义域.
(3)①当点P在梯形ABCD内部时,由MN=2及(2)的结论得2=-3x+10,AE=x=

8
3
,可求得梯形的面积,②当点P在梯形ABCD外部时,由MN=2及与(2)相同的方法得:
1
2
(x+6)−
1
2
×2=8−x
,AE=x=4,可求得梯形的面积.
考试点:梯形;根据实际问题列一次函数关系式.
知识点:本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识,属于综合性较强的题目,难度较大,对于此类题目要学会由小及大,将所求的问题缩小,一步一步求解.