设函数f(x)=mx2-mx-1,对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数m的取值范围(  )A. m>3B. m<67C. 67<m<6D. m<1

问题描述:

设函数f(x)=mx2-mx-1,对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数m的取值范围(  )
A. m>3
B. m<

6
7

C.
6
7
<m<6

D. m<1

(1)当m=0时,f(x)=-1<-m+5,解得m<6,故m=0;
(2)当m≠0时,该函数的对称轴是x=

1
2
,f(x)在x∈[1,3]上是单调函数.
①当m>0时,由于f(x)在[1,3]上单调递增,要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,只要f(3)<-m+5即可.
即9m-3m-1<-m+5,解得m<
6
7
,故0<m<
6
7

②当m<0时,由于函数f(x)在[1,3]上是单调递减,要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,只要f(1)<-m+5即可,
即m-m-1<-m+5,解得m<6,故m<0;
综上可知:实数m 的取值范围是:m<
6
7

故选B.
答案解析:函数在区间上恒成立问题,可转化为函数在给定区间上的最值问题,通过求解函数的最值,列出关于实数m的不等式,达到求解该题的目的
考试点:二次函数在闭区间上的最值.
知识点:本题考查函数恒成立问题的解决思路和方法,考查函数与不等式的综合问题,考查学生的转化与化归的思想和方法,考查学生分析问题解决问题的能力.