已知函数f（x）的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0.求证：（1）函数f(x)是奇函数；（2）函数f(x)在R上是减函数.

　　（1）f（0）＝f（0）＋f（0）
　　　　　　　∴f（0）＝0
　　　　　　　f（0）＝f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0
　　　　　　　∴f（－x）＝－f（x）
　　　　　　　　所以f（x）为奇函数

　　　（　2　）设X1　　　　　f(x2+y)-f（x1+y）=f（x2）+f(y)-f(x1)-f(y)
　　　　　　　　　　　　　=f (x2)-f (x1)
　　　　　　　　　　　　　=f (x2-x1)
　　　　　　　　　　　　∵X2>X1　即X>0
　　　　　　　　　　　　∴f (x)　　所以f （x2）+f（-x1）　　f （x2）-f（x1)　　f (x2)　　f（X1）＞f（X2）
　　∴f（x）在R上是减函数

（1）令X=Y=0 则f(0)=f(0)+f(0) 得f(0)=0
令Y=-X 则f(0)=f(X)+f(-X)=0
即f(x)=-f(-x)
又定义域为 符合条件 故该函数为奇函数
（2）令X1＞X2 则f(X1)－f(X2)=f(X1)+f(-X2)=f(X1－X2)
∵X1＞X2 故X1－X2＞0
由题意 X＞0时 f(x)＜0
∴f(X1)－f(X2)=f(X1－X2)＜0
所以该函数为减函数

（1）令X=Y=0 则f(0)=f(0)+f(0) 得f(0)=0
令Y=-X 则f(0)=f(X)+f(-X)=0
即f(x)=-f(-x)
又定义域为 符合条件 故该函数为奇函数
（2）令X1＞X2 则f(X1)－f(X2)=f(X1)+f(-X2)=f(X1－X2)
∵X1＞X2 故X1－X2＞0
由题意 X＞0时 f(x)＜0
∴f(X1)－f(X2)=f(X1－X2)＜0
所以该函数为减函数

(1) 令x=-y 带入 可得 f（0）=2f（0） 所以 f（0)=0
令y=-x 可得 f（-x)=-f(x） 所以 函数f(x)是奇函数；