如图在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是_．
问题描述：
如图在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是___．
答
作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，与AC的交点即是P点的位置，∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，MN=
AC，1 2
∴
=PM′ PN
=1，KM′ KM
∴PM′=PN，
∴MP=PN，
∵在△MBP和△NBP中，
，
BN=BM BP=BP PN=PM
∴△MBP≌△NBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP=60°，
∵AB=BC，
∴AP=PC，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∵PM+PN的最小值为2，
∴PM=PN=1，MN=
，
3
∴AC=2
，
3
AB=BC=2PM=2PN=2，
∴△ABC的周长为：2+2+2
=4+2
3
．
3
故答案为：4+2
．
3