如图,△ABC是内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)若AB=6,BC=4,求AE.

问题描述:

如图,△ABC是内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.

(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AB=6,BC=4,求AE.

(1)证明:在△ABE和△ACD中,
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD
又∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线,
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD
(2)∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴BC=BE=4
设AE=x,易证△ABE∽△DEC

DE
x
DC
AB
4
6

∴DE=
2
3
x

又AE•EC=BE•ED   EC=6-x
∴4×
2
3
x=x(6−x)

∴x=
10
3

即要求的AE的长是
10
3

答案解析:(1)在两个三角形中,证明两个三角形全等,找出三角形全等的条件,根据同弧所对的圆周角相等,根据所给的边长相等,由边角边确定两个三角形是全等三角形.
(2)根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等,得到等腰三角形,得到BE=4,可以证明△ABE与△DEC相似,得到对应边成比例,设出要求的边长,得到关于边长的方程,解方程即可.
考试点:圆內接多边形的性质与判定;与圆有关的比例线段.
知识点:本题考查与圆有关的比例线段,考查圆内接多边形的性质与判定,考查用方程思想解决几何中要求的线段的长,本题是一个应用知识点比较多的题目.