利用单调函数的定义证明：函数f（x）=x+2x在区间（0，2）上是减函数．
问题描述：
利用单调函数的定义证明：函数f（x）=x+
在区间（0，2 x
）上是减函数．
2
答
证明：设 0＜x1＜x2＜
，（1分）
2
则 f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+1 x1
）=（x1-x2 ）+2（1 x2
− 1 x1
） （4分）1 x2
=
（6分）(x1−x2)(x1x2−2)
x1x2
由
可得 0＜x1x2＜2，x1-x2＜0．
0＜x1＜x2＜
2
∴
＞0，即 f（x1）＞f（x2），(x1−x2)(x1x2−2)
x1x2
由单调函数的定义可知，函数函数f（x）=x+
在区间（0，2 x
）上是减函数．（12分）
2
答案解析：设 0＜x1＜x2＜
，化简f（x1）-f（x2） 为
2
，判断它的符号大于零，再根据减函数的定义得出结论．(x1−x2)(x1x2−2)
x1x2
考试点：函数单调性的判断与证明．
知识点：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于基础题．