甲乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(单位km/h)的平方成正比,且比例系数为b;固定部分为a元(a

问题描述:

甲乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(单位km/h)的平方成正比,且比例系数为b;固定部分为a元(a<bc2),为了使全程运输成本最小,汽车应该以多大行驶?

依题意得,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

s
v
,全程运输成本为y=a•
s
v
+bv2
s
v
=s(
a
v
+bv),
故所求函数为y=s(
a
v
+bv),其定义域为v∈(0,c)
(2)∵s、a、b、v∈R+,∴s(
a
v
+bv)≥2s
ab
,当且仅当
a
v
=bv时取等号,此时v=
a
b

a
b
≤c,即v=
a
b
时,全程运输成本最小.
a
b
>c,则当v∈(0,c)时,y=s(
a
v
+bv)-s(
a
c
+bc)=
s
vc
(c-v)(a-bcv)
∵c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0
∴s(
a
v
+bv)≥s(
a
c
+bc),当且仅当v=c时取等号,即v=c时全程运输成本最小.
答案解析:(1)确定汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间,从而可得全程运输成本关于速度的函数;
(2)利用基本不等式,再分类讨论,即可求得最值.
考试点:根据实际问题选择函数类型.
知识点:本题考查函数模型的构建,考查基本不等式的运用,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.