若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=_.

问题描述:

若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=______.

由于f(x)的定义域为R,值域为(-∞,4],
可知b≠0,∴f(x)为二次函数,
f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2
∵f(x)为偶函数,
∴其对称轴为x=0,∴-

2a+ab
2b
=0,
∴2a+ab=0,∴a=0或b=-2.
若a=0,则f(x)=bx2与值域是(-∞,4]矛盾,∴a≠0,
若b=-2,又其最大值为4,
4b×2a2
4b
=4,∴2a2=4,
∴f(x)=-2x2+4.
故答案为-2x2+4